指数函数与对数函数:由于存在反函数的关系,因为指数函数和对数函数都含有a,而a在高中阶段只讨论其中 a>0 且 a不等于1的情况,所以,我们先将不同的a通过图形的方式展示出来,然后再来分析性质,引出可能对高中考试,特别是比较大小的时候有用的一些结论.
一:指数函数和对数函数的定义:
a>0 且a不等于1; 称为指数函数
a>0且a不等于1,称为对数函数
通过定义,我们可以知道这两者为反函数,那么根据反函数的性质,我们自然就会得到两个函数图形关于y=x对称.
二:指数函数与对数函数的几个性质:
- 指数函数与对数函数互为相反函数,它们关于直线y=x 对称.
- 指数和对数函数具备2个图像特征:
a>0且a<1, 单调递减 ,指数和对数函数单调递减
a>1 单调递增,指数和对数函数单调递增
即单调性跟定义域没有关系,只跟a有关. a>1 单调递增, a<1且a大于0,单调递减.
3.指数函数的导数:
4.对数函数的导数:1/x.lna
5.指数函数过定点(0,1), 该点切线方程为y=Ina*x+1;
对数函数过定点(1,0),该点切线方程为 y=lna*(x-1)
三: 指数函数的几个重要结论:
(请注意,在推导的过程中我们并没有在意,a,b是否大于或小于1,只考察了a/b的关系以及指数大于或小于1的情况)
- 若a>0,b>0,a/b>1, >0 ,>0 , 设g(x)=, g(0)=1,g(x)在定义域单调递增.
g(x)在(0,正无穷) 单调递增, x>0时,g(x)>g(0),>
在(-无穷,0)区间也是单调递增,x<0, g(x)
应用:
对应的几何意义:
(1)在0到正无穷上, 图像任何一个点在对应的的上方>
(2)在0到负无穷上,图像的任何一个点都在对应的的上方<
- 若a>0,b>0,a/b<1,>0 ,>0 , 设g(x)=,g(0)=1,g(x)在定义域单调递减.
g(x)在(0,正无穷) 单调递减, x>0时,g(x)
g(x)(-无穷,0)区间也是单调递减,x<0, g(x)>g(0),>
对应的几何意义:
(1)在0到正无穷上, 图像任何一个点在对应的的下方<
(2)在0到负无穷上,图像的任何一个点都在对应的的下方>
三: 应用举例:
举例:
- m= n= 大小的时候 先将m或n 的指数写成相同的,n的底数可以写成(1/0.2)=5, 然后m,n都是3次方,都大于0,所以底数大,则值大 m
- m= n= 先化成指数一样的 n=(0.4)的平方在0.3次方,得到底数为0.16,
由于0.16<0.2, 即m的底数要大于n的底数,指数同为0.3大于0,那么m>n
期望对你有帮助,下一篇将看对数.