f(f(x)）函数专题研究
一、请看下面几道题目
1）若f(f(x))=x2-x+1,求f(0)的值。
2）若f(f(x))= x2-3x+4,求f(1)的值。
3）若f(f(x))= x2-11x+36,求f(6)的值。
4）已知 f(x)=x3-6,x∈R;f(f(x))=x，解方程求x。
二、共性问题
1、都有函数f(f(x))
2、前3个题目右侧 再添加-x，则可变为完全平方式。
如x2-x+1-x=(x-1)2
这有什么必然联系吗？
三、解法
以f(f(x))=x2-x+1，求f(0)的值，为例子。
1、方法1
增加一层外壳f()
f(f(x))=x2-x+1
x2-x+1-x=(x-1)2
可以再增加一层f()，即用f(x)去替换x;
一般也说令x=f(x),这里就是替换的意思，x和f(x)都是∈R的变量，是可以取到的。
f(f(f(x)))=f2(x)-f(x)+1
当f(f(x))=x时 ，则式变为
f(x)= f2(x)-f(x)+1
∴ (f(x)-1)2=0
显然根据式，x=1时 f(x)=x
即f(f(1))=1, f(1)=1
这就是题目二中3)题的解法 ，f(6)=6
返回本题求：f(0)
我们已知了f(1)=1,求f(0)，则通过不断迭代使式子中出现f(1)即可。
根据式 f(f(f(x)))=f2(x)-f(x)+1
令x=0,可出现f(0) f(f(f(0)))= f2(0)-f(0)+1,去求f(f(0))看一下
x=0 代入式，则f(f(0))=0-0+1=1
所以f(f(f(0)))=f(1)=1
f2(0)-f(0)+1=1
f(0)=1或0 两个解需要验证一下,代入 f(f(x))=x2-x+1
f(0)=0 f(f(0))=1, f(0)=1 矛盾
f(0)=1 f(f(0))=1, f(1)=1 正确
∴ f(0)=1
2、方法2
利用反函数的性质
f(f(x))=x2-x+1 ① 求f(0)
f(x) =f-1(f(f(x))) =f-1(x2-x+1） ②
当x=0 f(f(0))=1
∴②式 f(0)=f-1(1)=f-1(x2-x+1）③
x2-x+1=1 求得x=0或1
也就f(0)=0 或1（反函数x与y互换）
f(0)=0代入 ① f(f(0))=f(0)=1 矛盾
∴f(0)=1
四、f(f(x))函数
1、当f(x)为一次函数
设f(x)=ax+b
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b
f(f(x))仍是一次函数
2、当f(x)为二次函数
设f(x)=ax2+bx+c
则f(f(x))=f(ax2+bx+c)=a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c=
f(f(x))为四次函数
∴ f(f(x))题目给的是二次或三次函数，就不要试图假设f(x)为什么函数了，可能真的不存在。
五、特例f(f(x))=x
1、反函数
设y=x+1,则x=y-1
∴f(x)=x+1的反函数 为f-1(x)=x-1
反函数关于y=x对称
当f(x)= f-1(x) ,一般的f(x)图像本身关于y=x对称，特例 f(x)=x
利用 f-1(f(f(x)))=f(x) ,可以巧妙的解决一些嵌套函数f(f(x))问题
2、f(f(x))=x
1) 此时可得出 f-1(f(f(x)))=f(x)= f-1(x)
据此是否可以得出f(x)=x呢，网上有位老师特意对fn(f(f(x)))函数进行了详细研究，学习后得知，并不能得此结论。
如f(x)=c/x
则f(f(x))=f(c/x)=c/(c/x)=x
实际上还包括 f(x)=-x+b等
只能通过f(f(x))=x 得出 f(x)= f-1(x)，反之亦然。
2) 单调性
当f(x)是单调增函数时 可由f(f(x))=x 推导出 f(x)=x
已知 f(f(x))=x ，f(x)为单调增函数，根据单调性判断
假设f(x)＞x x=f(f(x))>f(x) 矛盾
假设f(x)＜x x=f(f(x))＜f(x) 矛盾
∴ f(x)=x
六、问题本质
1、实际上很多关于f(f(x))的求解问题可以归结于特例f(x)=x
也就是f(x)=x 和 f(x)=x2-x+1 联立求方程
特别的是 f(1)的值，此时f(1)=1
当不是求f(1)时，如f(0),此时用f(f(0))来代替，f(x)=f(f(0)）
2、但很多题目并不能通过f(f(x))=x来推导出f(x)=x，还是需要充分利用题目给的条件，除非题目给出或推断出f(x)是单调递增的。
3、间接利用f(x)=x是解此类题目的关键钥匙。